Urodził się 30 listopada 1893 r. w Mariampolu w guberni suwalskiej (obecnie Litwa). Syn Romana i Julii z Sobolewskich.
Ukończył sześć klas gimnazjum w Suwałkach, gdzie należał do tajnego koła niepodległościowego. Następnie kształcił się w Seminarium Duchownym w Sejnach, potem przez dwa semestry uczył się w Cesarskiej Rzymskokatolickiej Akademii Duchownej w Petersburgu. 21 maja 1916 r. przyjął święcenia kapłańskie.
Podczas I wojny światowej, w roku 1915, w związku z ofensywą armii niemieckiej, został ewakuowany w głąb Rosji. Od 1 czerwca 1916 r. pełnił funkcję kapelana polskich uchodźców w Mohylewie nad Dnieprem, następnie od lipca 1917 r. był wikariuszem w Mińsku Litewskim.
1 września 1917 r. ochotniczo wstąpił do 5 Pułku Strzelców Polskich wchodzącego w skład I Korpusu Polskiego, dowodzonego przez gen. Józefa Dowbor-Muśnickiego (1867–1937). Pełnił tam funkcję kapelana. W styczniu 1918 r. podczas transportu oddziałów I Korpusu Polskiego do Bobrujska, pociąg z żołnierzami 5 Pułku Strzelców Polskich został przez bolszewików wykolejony pod stacją Usza. Żołnierze polscy otoczeni przez przeważające siły wroga, po kilkugodzinnej walce musieli skapitulować. Ksiądz Gawędzki został aresztowany przez bolszewików, po czym w Mołodecznie uwolniony. Powrócił do Korpusu, gdzie został przydzielony w charakterze kapelana do 4 Pułku Strzelców Polskich będącego pod komendą płk. Michała Milewskiego (1875–1935).
20 maja 1918 r. dowództwo niemieckie frontu wschodniego przedstawiło gen. Dowbor-Muśniskiemu ultimatum: albo Polacy dobrowolnie złożą broń, albo wojska niemieckie użyją wobec nich siły. Następnego dnia I Korpus Polski został rozformowany i rozbrojony w twierdzy w Bobrujsku. Ksiądz kapelan Andrzej Gawędzki jak tysiące pozostałych żołnierzy I Korpusu Polskiego powrócił do kraju. We wniosku na odznaczenie Krzyżem Walecznych dla kapelana 4 psp napisano:
Ks. Andrzej Gawędzki jako kapelan 5 p.strzelców z narażeniem życia przeniósł i schował sztandar pułku. Pod Uszą, gdy bolszewicy wykoleili eszelon 5 p.strzelców udzieliwszy generalnej absolucji pułkowi, kilka godzin przeleżał w tyralierze z żołnierzami, podnosząc ich na duchu. Po rozbrojeniu pułku bolszewicy chcieli zamordować kapelana i tylko przypadek ocalił mu życie. Pod groza presji ze strony bolszewików urządził pogrzeb poległym w bitwie. Współdziałał w organizacji 5 p. WP w Mińsku, a następnie przeniesiony do 4 p.strzelców spełniał kapłańskie posługi pod Mohylewem, dając wzór obywatelskiego poświęcenia się dla sprawy ojczystej.
Służbę duszpasterską kontynuował jak wikariusz w Augustowie od listopada 1918 r. Należał do Polskiej Organizacji Wojskowej VIII Obwodu. Przewoził m.in. materiały wybuchowe do wysadzenia mostu koło Raczek. Brał udział w tworzeniu 41 Suwalskiego Pułku Piechoty. We wrześniu 1919 r. został pracownikiem kurii w Łomży i prefektem szkolnym.
Wobec zagrożenia bolszewickiego, od lipca 1920 r. został kapelanem 41 Suwalskiego Pułku Piechoty z którym przeszedł szlak bojowy. Po zakończeniu wojny sztandar Pułku został uhonorowany Orderem Virtuti Militari 5 kl. 12 marca 1921 r. ks. Gawędzki został przeniesiony na stanowisko kapelana garnizonu w Łomży, następnie 10 maja przeniesiony do rezerwy. Zweryfikowany jako kapelan (kapitan) rezerwy z dniem 1 czerwca 1919 r.
W latach 1921–1924 był prefektem gimnazjalnym w Łomży oraz sekretarzem generalnym katolickiego Stowarzyszenia Młodzieży Polskiej diecezji łomżyńskiej. W roku 1923 przez rok pełnił też funkcję rektora w kościele w Tykocinie, następnie otrzymał stanowisko proboszcza parafii św. Jakuba Apostoła w Jedwabnem. Od 1 marca 1930 do stycznia 1931 r. pełnił funkcje proboszcza parafii pw. Imienia Najświętszej Maryi Panny w Szczuczynie. Potem przez osiem lat był proboszczem w parafii pw. Trójcy Przenajświętszej w Grajewie. W kwietniu 1931 r. został również dziekanem dekanatu szczuczyńskiego. Angażował się też w działalność społeczną: sprawował funkcję prezesa koła Ligi Obrony Powietrznej Państwa w Grajewie oraz tamtejszego koła Towarzystwa Rozwoju Ziem Wschodnich. Należał do Związku Dowborczyków, kierował jego oddziałem w Grajewie.
15 marca 1938 r. rozkazem Polowej Kurii Biskupiej został mianowany kapelanem pomocniczym garnizonu Grajewo. 24 sierpnia 1939 r. zmobilizowany do Wojska Polskiego, został kapelanem 9 Pułku Strzelców Konnych im. gen. Kazimierza Pułaskiego.
Podczas kampanii wrześniowej 1939 r. służył w szeregach 9 psk aż do kapitulacji pod Kockiem (6 października). Dostał się do niewoli niemieckiej; krótko przebywał w oflagu VII A w Murnau, następnie od grudnia w oflagu IX A/Z w Rotenburgu. W kwietniu 1941 r. został przeniesiony do obozu koncentracyjnego w Buchenwaldzie, następnie w lipcu 1942 r. wywieziony do KL Dachau, gdzie był ofiarą eksperymentów medycznych. Po latach więzień KL Dachau Tadeusz Gryczan wspominał:
Będąc w Dachau odwiedziłem blok księży polskich. Odnalazłem księdza swojej parafii, proboszcza z Grajewa, który wsparł mnie duchowo oraz kilkoma porcjami chleba.
29 kwietnia 1945 r. do KL Dachau wkroczyły oddziały amerykańskie i uwolniły przebywających tam więźniów.
Po zakończeniu II wojny światowej ks. Gawędzki pozostał na emigracji. Podjął służbę duszpasterską przy 2 Korpusie Polskim gen. Władysława Andersa (1892–1970) we Włoszech, jako kapelan 5 polowego szpitala ewakuacyjnego. W roku 1946 został awansowany na starszego kapelana (majora). Po przybyciu do Wielkiej Brytanii i demobilizacji (1947) wyjechał do Argentyny. Zamieszkał w Rosario, gdzie pełnił funkcję duszpasterza szkoły żeńskiej działającej przy zakonie sióstr dominikanek. Oficjalnie przestał być grajewskim proboszczem dopiero w 1947 r., w uznaniu zasług kapituła katedry łomżyńskiej nadała mu godność kanonika honorowego, osiem lat później został prałatem papieskim. W roku 1972 został awansowany przez prezydenta RP na Uchodźstwie Augusta Zaleskiego (1883–1972) do stopnia proboszcza (podpułkownika).
Pod koniec życia z trudem się poruszał i miał zaawansowaną sklerozę. W roku 1971 otrzymał do pomocy franciszkanina polskiego pochodzenia. Do ostatnich chwil życia marzył o powrocie do Polski – jeszcze w przeddzień śmierci nucił polskie piosenki.
Zmarł 15 lutego 1977 r. w Rosario na atak serca. Pochowany na Cmentarzu Bródnowskim w Warszawie (kwatera 24 L).
Odznaczony orderem Polonia Restituta 3 kl., Krzyżem Walecznych, złotym Krzyżem Zasługi i Medalem Niepodległości.
W.K. Cygan, Z. Kępa, W.J. Wysocki, Duchowni na drogach ku Niepodległości 1914-1918, Mińsk Mazowiecki-Warszawa 2014; W. Guzewicz, Stowarzyszenie Młodzieży Polskiej w diecezji łomżyńskiej w okresie II Rzeczypospolitej, „Saeculum Christianum”, 2004, nr 2; Kapelani wrześniowi, Warszawa 2001; S. Łoza, Czy wiesz kto to jest?, Warszawa 1938; „Monitor Polski”, 1931, nr 287; Rocznik oficerski rezerw 1934; Wykaz duchowieństwa wojskowego oraz parafij, kościołów i kaplic wojskowych wyznania katolickiego w Rzeczypospolitej Polskiej na 1929 r., Warszawa 1929; https://grajewiak.pl/index.php/biogramy/613-gawedzki-andrzej