Urodził się 27 maja 1874 r. w Wilnie. Syn Aleksandra i Walerii z Zasztowttów.
Po uzyskaniu matury studiował na Wydziale Fizyko-Matematycznym uniwersytetu w Petersburgu. W roku 1900 wstąpił do Seminarium Duchownego w Kownie. Około 1904 r. został wyświęcony na kapłana. Od 2 marca 1905 r. kapelan Wileńskiego Okręgu Wojskowego armii rosyjskiej.
Po wybuchu I wojny światowej od 29 września 1914 r. kapelan w 1 Armii. Uczestniczył w działaniach na Froncie Północno-Zachodnim, od sierpnia 1915 r. na Froncie Zachodnim. Od kwietnia 1916 do lipca 1917 r. w składzie Frontu Północnego, po czym do września na Froncie Południowo-Zachodnim. Po rewolucji lutowej 1917 r. na ziemiach zaboru rosyjskiego znajdujących się pod władzą Rządu Tymczasowego Rosji, z żołnierzy narodowości polskiej z armii rosyjskiej służących we Froncie Zachodnim i Froncie Północnym 24 lipca utworzono I Korpus Polski. Od 20 września pełnił funkcję kapelana 1 Pułku Ułanów w tym Korpusie. Służył w nim do czasu jego rozformowania 21 maja 1918 r.
Ks. Burzyński, kapelan 1 p.uł. Krechowieckich przez cały czas przebywania swego w pułku stanowił tą duchową ostoję pułku, która każdej formacji polskiej na terenie obcym najpierw, później wrogim nawet – była niezbędna. Wyróżniając się prócz cnót, związanych z jego powołaniem – nadzwyczajną dzielnością osobistą – brał ksiądz Burzyński osobisty udział we wszystkich walkach 1 p. ułanów Krechowieckich na terenie Rosji. Z narażeniem życia, w sferze faktycznego działania ognia nieprzyjacielskiego – ks. Burzyński osobistą odwagą zagrzewał pułk do walki, dając szczytny przykład szeregom i spełniając swoje obowiązki ojca duchownego względem rannych, nieraz nawet pod gradem kul nieprzyjacielskich. Osobiste zalety księdza Burzyńskiego – spokój i męstwo w walce, wysoce patriotyczne i szczere zajęcie się żołnierzem i oficerem w ogóle – w olbrzymim stopniu przyczyniły się do urobienia szeregów 1 p. ułanów Krechowieckich i postawienia go na tej wysokości, która ten pułk w I Wschodnim Korpusie wyróżniała.
Zamieszkał w Warszawie; 5 lipca 1918 r. został zaliczony do rezerwy duchowieństwa wojskowego.
W niepodległej Polsce od 19 listopada 1918 r. służył w Wojsku Polskim. 1 grudnia mianowany kapelanem Szpitala Ujazdowskiego, od 13 grudnia proboszczem Dywizji Litewsko-Białoruskiej. Od 1 marca 1919 r. dziekan Okręgu Generalnego Łódź. Zweryfikowany jako dziekan (pułkownik) z 1 czerwca 1919 r. sprawował funkcję szefa duszpasterstwa Okręgu Korpusu nr IV w Łodzi; od czerwca 1927 r. Okręgu Korpusu nr I w Warszawie. Jednocześnie (w 1925) członek Komisji Rewizyjnej, od roku 1928 Rady Administracyjno-Gospodarczej Kurii Polowej Wojska Polskiego, sędzia Sądu Biskupiego Wojska Polskiego. 30 czerwca 1933 r. przeszedł w stan spoczynku. Posiadał godność prałata domowego i tajnego szambelana Jego Świątobliwości. W sierpniu 1935 r. mianowany rektorem kościoła filialnego parafii Skolimów pw. Wniebowzięcia Najświętszej Maryi Panny w Konstancinie, gdzie dokończył budowę plebanii oraz odnowił kościół.
Po II wojnie światowej wyremontował dach kościoła pw. Wniebowzięcia Najświętszej Maryi Panny w Konstancinie. Zmarł 14 lutego 1950 r. w Konstancinie.
Odznaczony Krzyżem Walecznych i Medalem Niepodległości.
CAW, Akta personalne I.481.B.15444; „Monitor Polski” 1933, nr 212; „Dziennik Personalny MSWojsk” 1927, nr 17; „Dziennik Personalny MSWojsk” 1933, nr 7; Rocznik oficerski 1923, 1924, 1928, 1932; Rocznik oficerski rezerw 1934; Schematyzm Kościoła Rzymsko-Katolickiego w Rzeczypospolitej Polskiej z Mapą Diecezji i dodatkiem Spisu Polskich Parafij i Polskiego Duchowieństwa w Stanach Zjednoczonych Ameryki Północnej. Stan z 1 stycznia 1925 r., Kraków 1925; Wykaz duchowieństwa wojskowego, oraz kościołów i kaplic garnizonowych wyznania katolickiego w Rzeczypospolitej Polskiej za 1924-ty rok, Warszawa [1924]; Wykaz duchowieństwa wojskowego oraz kościołów i kaplic wojskowych wyznania katolickiego w Rzeczypospolitej Polskiej za 1928 r., Warszawa 1928; Wykaz duchowieństwa wojskowego oraz parafij, kościołów i kaplic wojskowych wyznania katolickiego w Rzeczypospolitej Polskiej na 1929 r., Warszawa 1929; Wykaz duchowieństwa wojskowego oraz parafij, kościołów i kaplic wojskowych wyznania katolickiego w Rzeczypospolitej Polskiej na 1930 r., Warszawa 1930; W.K. Cygan, Z. Kępa, W.J. Wysocki, Duchowni na drogach ku Niepodległości 1914–1919, Mińsk Mazowiecki – Warszawa 2014; Duszpasterstwo wojskowe w okresie posługi abp. Stanisława Galla biskupa polowego Wojsk Polskich. Wybór dokumentów źródłowych 1918–1933, Warszawa 2018; B. Szwedo, Ks. pułkownik Antoni Burzyński (1874–1950) – kapłan diecezji kowieńskiej, proboszcz Dywizji Litewsko-Białoruskiej, „Nasza Służba” 2019, nr 2.