Urodził się 18 lipca 1894 r. w Wilnie. Syn Michałą i Marii z Pawłowskich. Brat Michała (zob.).
Ukończył ośmioklasowe gimnazjum filologiczne w Suwałkach, po czym od 1915 r. studiował na Wydz. Lekarskim Uniwersytetu Warszawskiego; ukończył sześć semestrów.
W czasie I wojny światowej od 1 lipca 1916 r. w POW. Do 4 listopada służył w obwodzie w Brzezinach. Następnie do 11 maja 1917 r. kształcił się w szkole podoficerskiej POW w Warszawie. Po jej ukończeniu skierowany do obwodu suwalskiego. Od 1 listopada 1918 r. w baonie POW w Kolnie.
Od 1 grudnia 1918 r. w stopniu kpr. w 33 pp. Od 27 grudnia w 1 pstrz suwalskich (potem: 41 pp). Skierowany do szkoły podoficerskiej, 14 stycznia 1919 r. awansował na plut. i 19 lutego na sierż. 20 maja mianowany lekarzem baonu i 23 maja został pchor. Brał udział w walkach z bolszewikami na froncie litewsko-białoruskim.
Podczas działań bojowych wielkokrotnie się wyróżnił. Dn. 1 maja 1919 r. w bitwie pod Wilnem ppor. Leoszko Józef jako lekarz baonowy znajdował się w linji tyralierskiej wypełniając tam swoją funkcję. W chwili cofnięcia się lewo skrzydłowej komp. ppor. Leoszko wstrzymał cofający się jeden pluton, przeszedł z nim do kontrataku, zajął z powrotem opuszczony odcinek komp. i utrzymywał takowy do chwili podejścia komp. rezerwowej. (…)
Dn. 27 lipca 1919 r. w akcji Mińskiej 41 pp obsadzał odcinek przy wsi Polikszty Boredyka.Bolszewicy poprowadzili atak na całym froncie z głównym uderzeniem na Polikszty zmuszając cofnąć się 7-mą komp. Nad znajdującym się w rezerwie przy D-twie baonu plutonie objął d-two ppor. Leoszko i przeszedł z nim do kontrataku, wybił przeciwnika z zajętego przez niego wzgórza i utrzymał się do ogólnej likwidacji akcji w tym dniu [z wniosku na Krzyż Walecznych].
Z dniem 1 kwietnia 1920 r. mianowany ppor. san. Uczestniczył w wyprawie kijowskiej. Od 1 lipca lekarz inspekcyjny przy punkcie sanitarnym na dworcu Warszawa-Wschodnie.
Zweryfikowany jako por. plek. z 1 czerwca 1919 r. Przydzielony jako lekarz do 3 pszwol., a potem 2 puł z tym jednak, iż został odkomenderowany celem dokończenia studiów na Uniwersytecie Warszawskim. Ukończył je, uzyskując 6 grudnia 1924 r. dyplom lekarski. Został wówczas lekarzem 1 plotn. 1 kwietnia 1925 r. skierowany do Niższej Szkoły Pilotów w Bydgoszczy. Szkolenie ukończył 8 lipca, uzyskując jako pierwszy lekarz WP dyplom pilota. 9 sierpnia powrócił na stanowisko lekarza do 1 plotn. Od 1926 r. służył w Wydz. Lotniczo-Lekarskim (od 7 stycznia 1928: Centrum Badań Lekarsko-Lotniczych) w Warszawie, pierwszej polskiej placówce medycyny lotniczej. Awansowany 1 stycznia 1928 r. na kpt. lek., sprawował funkcję referenta służby zdrowia. W tym 1928 r. odkomenderowany na praktykę okulistyczną do Szpitala Ujazdowskiego w Warszawie. 1 stycznia 1934 r. awansował na mjr. lek. 1 sierpnia 1936 r. Centrum Badań Lekarsko-Lotniczych zostało przekształcone w Instytut Badań Lekarskich Lotnictwa. Od 1938 r. był naczelnym lekarzem 6 plotn. 24 sierpnia 1939 r. został naczelnym lekarzem Bazy Lotniczej nr 6.
Na tym stanowisku wziął udział w kampanii 1939 r. 7 września przydzielony do szefostwa służby zdrowia OK nr VI we Lwowie. Po agresji soiwieckiej z 17 września przeszedł do Rumunii, gdzie został internowany. Następnie przedostał się do Francji, a po jej upadku w czerwcu 1940 r. do Wlk. Brytanii. Od marca 1941 r. był starszym lekarzem Ośrodka Wyszkolenia Ziemnego w Eastchurch i Blackpool. Po zakończeniu wojny awansował na ppłk. lek.
Wstąpił do Polskiego Korpusu Przysposobienia i Rozmieszczenia. Mieszkał w Blackpool.
Zmarł 20 września 1948 r. i został pochowany na cmentarzu polskich lotników w Newark-on-Trent.
Odznaczony dwukrotnie Krzyżem Walecznych, złotym Krzyżem Zasługi i Medalem Niepodległości.
Żonaty z Janiną Wojnarowską, miał syna i córkę.
Z. Kopociński, K. Kopociński, Z Eksulapem i biało-czerwoną szachownicą w herbie – ppłk dr pil. Józef Leoszko jako świadek powstania i rozwoju medycyny lotniczej w Polsce, „Acta Medicorum Polonarum”zesz. 2/2020; Lista starszeństwa oficerów zawodowych korpusu sanitarnego 1934; „Monitor Polski” nr 218/1931; Rocznik Lekarski Rzeczypospolitej Polskiej na rok 1938, Warszawa 1938; Rocznik Lekarski Rzeczypospolitej Polskiej na rok 1936, Warszawa 1936; Rocznik oficerski 1923, 1924, 1928, 1932; R. Rybka, K. Stepan, Rocznik oficerski 1939, Kraków 2006; „Życie Warszawy” nr 337/1948.